この記事を書いているときのアップデートは5.2.2f1から5.2.3f1です。

アップデートの方法は、Unityの起動時に通知が来て自動的にウィンドウが開きます。 そのウィンドウでアップデートがあるから更新するかと聞いてきます。
updateunity

たぶんデフォルトだとCheck for Updatesにチェックが入っているので、更新が通知されます。Download new versionを押すと、最新のUnityのダウンロードサイトに飛ばされます。
ダウンロードサイトからインストーラーを落とし、実行すればアップデートが可能です。ウィザードに従っていけばアップデートを自動で行ってくれます。

更新通知が開かない場合でもアップデートがあるかチェックすることができます。Helpメニューにアップデートがあるか確認するメニューあるのでそれを押せば確認することができます。
menuupdate


ウィザードの表示を撮ったので載せておきます。バージョンによっては変わる可能性がありますが、そんなに大きくは変わらないと思います。

1ページ目
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2ページ目
左下のチェックマークを入れないと同意したことにならず次のページに進めません。
da-2

3ページ目
ダウンロードするものを選ぶ画面ですが、デフォルトのままで良いと思います。
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4ページ目
一時フォルダにファイルをダウンロードすれば良いので、そのまま進んで問題ありません。
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5ページ目
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6ページ目
インストールが終わると個の画面になります。これが出ればインストールは成功しているでしょう。試しに起動してみてUnityのバージョンがどうなっているか確認すれば万全です。
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インストールが終わるとWindowsのプログラムの一覧に新しいバージョンの項目が追加されます。画像のように古いバージョンのものも残ったままです。
インストール先を変更していない場合はUnityを上書きしてバージョンアップしているので(古いバージョンは残っていない)古い方の項目は消しても構いません。
startmenu