レビュー依頼をすることはGoogle Playで可能です。
規約に違反するような可能性もあるので注意が必要なものではあります。公式の説明に違反の例があります。評価に対し報酬を与えるなどして、評価を操作することがいけないとあります。「★5の評価をしてくれたら、○○のアイテムをあげます!」とかは違反だということです。

レビューについてやれることは、レビューのページ(アプリのあるページのこと)へのリンクをアプリ内に置くことだけです。ボタンを押したらレビューのページに飛ばすということが唯一許されています。以前は公式のページにもユーザーにレビューを求める例としてダイアログの画像があったのですが、今は消えています。したがって、将来的にはレビューをすることを頼むことも禁止されるかも知れません。

良いレビューが増えるとランキングや新しくアプリをダウンロードしようという動機付けに一役買うでしょうから、アプリにレビューを依頼する処理を作ることは良いかもしれません。レビューしやすくなったために悪口ばかり増える可能性もあるので、単純にリンクを作るというのは駄目な気がしています。
レビュー内容についての操作は違反なので、レビューの依頼で表示する文言は「レビューをお願いします。」というだけになります。下のような感じです。(レビュー依頼の実装は『トランプ・スピード』のものです。)
request-review-dialog

しかしながら開発者側に意味あるレビュー(アプリの内容に具体的に触れていて、使ったことのない人にもわかるようなもの。その上で……できれば好意的なもの。)が増えてほしいから、レビュー依頼を作るわけです。文言を変えずにそのようなことをするには、レビュー依頼のダイアログを表示するタイミングを設定するのが良いと思います。
良いレビューをするには繰り返しアプリを遊んでもらう必要があると思います。そのため何回もリザルト画面に来ているなら、レビュー依頼をするというようにしてみました。「後で」以外のボタンを押した場合は、この後でダイアログを出すことはありません。そうすることで望んだ人以外はダイアログを何度も見ることにならずゲームの進行の邪魔をしないようにしています。

レビューページへの遷移は、
Google Play上のアプリのURLに飛ばすだけで可能です。レビュー依頼をするかというフラグとリザルトに何回来たかをセーブデータに持つことで何回も遊んだ人だけにダイアログを出すということが実現できます。やってみると意外と簡単な処理だと思います。